Les nombres complexes initialement pensés comme outil de calcul sans réalité propre ont trouvé à partir du XIXè siècle une représentation graphique qui a permis de faire des liens ces nombres et la géométrie du plan.
Représentation géométrique.
Affixe d'un point
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On appelle plan complexe le plan muni d'un repère orthonormé $(0 ; \vec{u},\vec{v})$.
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À tout nombre complexe $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ nombres réels, on associe le point $M$ de coordonnées $(x ; y)$.
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Réciproquement, à tout point $M(x ; y)$ du plan complexe, on associe le nombre complexe $z=x+iy$.
On dit que le point $M$ est le point image du nombre complexe $z$ et que $z$ est l'affixe du point $M$.
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Le point $E(-2 ; 3)$ a pour affixe $-2+3i$.
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Le point image du nombre complexe $1-i$ est le point $F(1 ; -1)$.
Notation et vocabulaire
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Interprétation géométrique du conjugué
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Le point $M$ d'affixe $z$ et le point $M'$ d'affixe $\overline{z}$ En effet si $z = x+iy $ $(x\in\mathbb{R} \textrm{ et } y\in\mathbb{R})$, alors $\overline{z}=x-iy$, donc $M$ et $M'$ ont la même abscisse et des ordonnées opposées. |
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Affixe d'un vecteur
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Dans le plan complexe, $\vec{w}$ est un vecteur de coordonnées $(x ; y)$. Le point $M$ tel que $\overrightarrow{OM} = \vec{w}$ a pour coordonnées $(x ; y)$, donc le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a pour affixe $x+iy$. On dit que le vecteur $\vec{w}$ est le vecteur image du nombre complexe $z$ et que $z$ est l'affixe du vecteur $\vec{w}$. |
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Soit $M$ un point du plan complexe muni d'un repère d'origine $O$ et $z$ un nombre complexe. Le point $M$ a pour affixe $z$ si, seulement si le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a pour affixe $z$. |
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l'affixe du point $O$ l'origine d'un repère du plan complexe est $0$.
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l'affixe du vecteur nul $\vec0$ est $0$.
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Propriétés
En utilisant les propriétés des coordonnées, on déduit les propriétés suivantes
Dans le plan complexe, on considère les vecteurs $\vec{w}$ et $\vec{w'}$ d'affixes respectives $z$ et $z'$ et $k$ un réel.
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Les vecteurs $\vec{w}$ et $\vec{w'}$ sont égaux si, et seulement si, $z$ = $z'$.
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Le vecteur $\vec{w}+\vec{w'}$ a pour affixe $z + z'$.
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Le vecteur $k\vec{w}$ a pour affixe $kz$.
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L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le nombre complexe $z_B-z_A$.
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L'affixe du milieu $I$ du segment $[AB]$ est le nombre complexe $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$.
Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
Dans le plan complexe on donne les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes : $z_A=-3-i$, $z_B=1+i$ $z_C=3-2i$ et $z_D=-1-4i$.
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Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le plan complexe en utilisant la figure ci-dessous. Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ ?
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Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$
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En déduire la nature du quadrilatère $ABCD$.
Dans le plan complexe on donne les points par leurs affixes $A(1)$, $B(-2 -i)$ et $C(4i)$
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Déterminer l’affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
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Déterminer l’affixe du point $M$, centre du parallélogramme $ABCD$.
Dans le plan complexe on donne les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes : $z_A=-3+5i$, $z_B=-1+i$ et $z_C=-i$.
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Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe en utilisant la figure ci-dessous et émettre une conjecture.
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Démontrer ou invalider cette conjecture.
Module d'un nombre complexe
$(0 ; \vec{u},\vec{v})$ est un repère orthonormé direct du plan complexe.
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Soit $M$ le point d'affixe $z$. Le module de $z$, noté $| z |$, est la distance $OM$, c'est-à-dire $| z | = OM$. |
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Pour tout nombre complexe $z$ de forme algébrique $x+iy$ $(x\in\mathbb{R} \textrm{ et } y\in\mathbb{R})$.
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Si $x$ est un nombre réel, le module de $x$ est égal à la valeur absolue de $x$.
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$|z|=0$ équivaut à $z=0$ car $OM=0$ équivaut à $M=O$.
Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
La distance entre les points $A$ et $B$ est donnée par : $AB=|z_B-z_A|$.
Soient $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ deux points du plan complexe, alors, $z_A=x_A +iy_A$ et $z_B=x_B +iy_B$.
On retrouve $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$ avec $AB=|z_B-z_A|=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$.
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Dans le plan complexes, placer les points $A(6-3i)$, $B(15+2i)$ et $C(18-3i)$.
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Que peut-on conjecturer quant à la nature du triangle $ABC$ ?
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Démontrer ou invalider cette conjecture.
Pour tous nombres complexes $z$, $z'$ et tout nombre entier naturel $n\ge 1$.
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$|zz'| = |z|\times|z'|$
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$|z^n| = |z|^n$
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$\left\lvert\dfrac{1}{z'}\right\rvert = \dfrac{1}{|z'|}$, si $z'\ne0$.
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$\left\lvert\dfrac{z}{z'}\right\rvert = \dfrac{|z|}{|z'|}$, si $z'\ne0$
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Calculer le module de chacun des nombres complexes $\sqrt{3}+i$ et $1-2i$.
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Déterminer alors le module de chaque nombre complexe :
$z_1=(\sqrt{3}+i)(1-2i)$, $z_2=(\sqrt{3}+i)^3$, $z_3=\dfrac{1}{1-2i}$ et $z_4=\dfrac{\sqrt{3}+i}{1-2i}$.
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Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AM}$, et $\overrightarrow{BM}$.
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Déterminer l'ensemble $\mathscr{E}$ des points $M$ tel que : $|z-2-5i|=|z+3i|$.
On donne les points $A$ et $B$ d'affixes $z_A=2+5i$ et $z_B=-3i$. $M$ désigne un point du plan complexe d'affixe $z$.
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$M$ est un point d'affixe $z$. Déterminer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AM}$.
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Déterminer l'ensemble $\mathscr{F}$ des points $M$ d'affixe $z$ du plan dont l'affixe vérifie $|z-1+i|=2$
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$. On donne le point $A$ d'affixe $1-i$.
Voici un test de quatre questions à faire en autonomie afin de vérifier votre maîtrise du module d'un nombre complexe.
Cercle trigonométrique
Enroulement
On peut "enrouler" l'axe des réels autour d'un cercle de rayon 1, comme l'illustre l'animation ci-dessous :
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On appelle cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ dans le plan muni du repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ le cercle de centre $O$, de rayon $1$, pour lequel on choisit pour sens direct le sens inverse des aiguilles d’une montre.
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À tout nombre réel $x$, on associe le point unique $M$ du cercle $\mathcal{C}$ tel qu’une mesure, en radians, de l’angle orienté $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})$ soit $x$.
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Soit $x$ un réel et soit $M$ le point de $\mathcal{C}$ tel que $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})=x$.
Le point $M$ a pour abscisse $\cos(x)$ et pour ordonnées $\sin(x)$.
Comme un tour complet du cercle trigonométrique correspond à un angle de $2\pi$ (radians), si une mesure de $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})$ est $x$ alors les autres mesures sont : $x+k 2\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.
Pour tout réel $x$ :
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$-1\le \cos(x) \le 1$.
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$-1\le \sin(x) \le 1$.
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$(\cos(x))^2+(\sin(x))^2 = 1$.
Valeurs à connaître par cœur
En utilisant la relation $(\cos(x))^2+(\sin(x))^2 = 1$, on peut démontrer les valeurs suivantes :
| $x$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin(x)$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos(x)$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
À partir de ces valeurs, on peut déduire l'ensemble des valeurs remarquables à connaître au lycée sur le cercle trigonométrique :
Cercle complet à connaître par cœur :
Voici un test de six questions à faire en autonomie afin de vérifier votre maîtrise des valeurs angulaires à connaître sur le cercle trigonométrique.
Utiliser le cercle trigonométrique afin de résoudre les équations suivantes sur $[-\pi ;\pi]$ :
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$\sin(x)=\dfrac{1}{2}$
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$\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
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$\cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
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$(2\sin(x)+1)(\sqrt{3}-2\cos(x))=0$
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$2(\sin(x))^2=1$
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$(\cos(x)+1)\cos(x)\sin(x)=0$
Voici un test de dix questions à faire en autonomie afin de vérifier votre maîtrise des valeurs remarquables trigonométriques à connaître sur le cercle trigonométrique.
Arguments d'un nombre complexe
$(O ; \vec{u},\vec{v})$ est un repère orthonormé direct du plan complexe.
$\mathscr{C}$ est le cercle trigonométrique de centre $O$.
Définition et interprétation géométrique
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Soit $z$ un nombre complexe non nul de point image $M$ du plan complexe, $N$ est le point d'intersection du cercle trigonométrique $\mathscr{C}$ et de la demi-droite $[OM)$. On appelle argument de $z$ et on note arg(z) tout nombre $\theta$ dont le point $N$ est l'image sur le cercle trigonométrique $\mathscr{C}$. |
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Un nombre complexe non nul a une infinité d'arguments. Si $\theta$ est un argument d'un nombre complexe $z$, tous les autres sont de la forme $\theta+2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$. On note $\theta = arg(z) ~[2\pi]$ et on lit "$\theta$ égal argument de $z$ modulo $2\pi$"
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L'argument appartenant à $]-\pi ; \pi[$ est appelé argument principal de $z$
Interprétation géométrique
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On se place dans un plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$.
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Cette propriété est une conséquence directe de la définition.
Le nombre complexe $0$ est le seul nombre complexe qui n'a pas d'argument.
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Dans le plan complexe, placer les points $A$, $B$, $C$, $D$ d'affixes respectives $1+i$, $-1-i$, $1-i$, $-1+i$.
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Lire graphiquement un argument de chacun de ces nombres complexes.
Premières propriétés des arguments
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Pour tout nombre complexe non nul $z$ et tout réel $k$ non nul :
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Soient $A$ et $B$ deux points distincts d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$. On a $\left(\vec{u} ; \overrightarrow{AB}\right)=arg(z_B-z_A) ~[2\pi]$. |
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Soit $z$ un nombre complexe non nul de forme algébrique $x+iy$ ($x$ et $y$ réels). Alors un argument de $z$ est un réel $\theta$ tel que $\left\{ \begin{array}{l!l} cos(\theta)=&\dfrac{x}{|z|}\\[3pt] sin(\theta)=&\dfrac{y}{|z|} \end{array}\right.$ |
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Dans le plan complexe, placer les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $3+3i$ et $-2+2i$.
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Déterminer un argument de l'affixe de $A$, puis de $B$.
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En déduire la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$ et la nature du triangle $AOB$.
$A$ et $B$ sont les points du plan complexes : $z_A=-2\sqrt{3}+2i$ et $z_B=\overline{z_A}$.
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Déterminer un argument de l'affixe de chacun des points $A$ et $B$.
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En déduire la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$.
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Démontrer que le triangle $AOB$ est équilatéral.
Forme trigonométrique d'un nombre complexe
$z$ est un nombre complexe non nul.
L'écriture $z=|z|(cos(\theta)+isin(\theta))$ où $arg(z)=\theta ~[2\pi]$ est appelée une forme trigonométrique de $z$.
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Deux nombres complexes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont le même module et même argument à un multiple de $2\pi$ près.
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Si $z=r(cos(\theta)+isin(\theta))$ avec $r$ un réel strictement positif alors $|z|=r$ et $arg(z)=\theta$ $~[2\pi]$.
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Déterminer le module et un argument de chaque nombre complexe puis l'écrire sous forme trigonométrique.
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$z_1=1+i\sqrt{3}$.
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$z_2=-4i$.
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$z_3=2-2i\sqrt{3}$.
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$z_4=-1+i$.
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En déduire, sans calculs supplémentaires, une forme trigonométrique de $\overline{z_4}$ et $\sqrt{2}z_4$.
Dans chaque cas, écrire sous forme algébrique le nombre complexe $z$.
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$z=2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$.
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$z=\sqrt{3}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)$.
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$z=\sqrt{3}\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$.
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$z=8\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)$.
Voici un test de trois questions à faire en autonomie afin de vérifier votre maîtrise sur l'argument et la forme trigonométrique d'un nombre complexe.
Forme exponentielle
Propriétés de l'argument
Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls.
$$arg(zz')=arg(z)+arg(z')~[2\pi]$$
Déterminer la forme trigonométrique des complexes suivants :
- $z_1=-1+i$
Forme exponentielle
En utilisant les propriétés sur le module et l'argument d'un produit, on peut montrer que l'on peut écrire l'égalité suivante :
Pour tout réel $\theta$, $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i \sin(\theta)$.
On en déduit :
Tout nombre complexe de module, non nul, $r$ et d'argument $\theta$, s'écrit $z=r e^{i\theta}$.
Cette écriture est la forme exponentielle de $z$.
Justifier que $e^{i\pi}+1=0$.
On donne $z_1=1+i$ et $z_2=\sqrt{3}-i$.
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Déterminer la forme exponentielle de $z_1$.
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Déterminer la forme exponentielle de $z_2$.
Propriétés
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Pour tout $\theta$ réel, $\left|e^{i\theta}\right|=1$.
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Pour tout $\theta$ réel, $\arg\left(e^{i\theta}\right)=\theta~[2\pi]$.
Dans le plan complexe, placer les points A, B, C, D d'affixes respectives $e^{i\times 0}$, $e^{i\times \frac{\pi}{2}}$, $e^{-i\times \frac{\pi}{4}}$ et $e^{i\times \frac{2\pi}{3}}$.
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Pour tout $\theta$ , $\theta'$ réels, $e^{i(\theta+\theta')}=e^{i\theta}\times e^{i\theta'}$.
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Pour tout $\theta$ , $e^{-i\theta}=\frac1{e^{i\theta}}$.
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Pour tout $\theta$ , $\theta'$ réels, $e^{i(\theta-\theta')}=\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}$.
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Pour tout $\theta$ , $\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}=\frac1{e^{i\theta}}$.
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Pour tout $\theta$ réel et tout entier naturel $n$, $\displaystyle{\left(e^{i\theta}\right)^{n}=e^{i n\theta}}$.
Les règles de calculs avec l'exponentielle complexe sont analogues à celles des règles avec les puissances : exponentielle $i\theta$=$e$ puissance $i$ $\theta$.
On donne $z_1=1+i$ et $z_2=\sqrt{3}-i$.
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Déterminer la forme exponentielle de $z_1\times z_2$.
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Déterminer la forme exponentielle de $\frac{z_1}{z_2}$.
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Déterminer la forme exponentielle de $z_1^{12}$.
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